定理 2.3.1

$x_n \neq 0$，则 ${x_n}$ 是无穷大量的充要条件是 ${\frac{1}{x_n}}$ 是无穷小量。

证：

必要性（ $\Rightarrow$ ）：假设 $\{x_n\}$ 是无穷大量，证 ${\frac{1}{x_n}}$ 是无穷小量

$$\forall \varepsilon > 0, \quad \text{令 } G = \frac{1}{\varepsilon} > 0$$

$$\exists N, \quad \forall n > N, \quad |x_n| > G = \frac{1}{\varepsilon}$$

$$\Rightarrow \left|\frac{1}{x_n}\right| < \varepsilon$$

充分性（ $\Leftarrow$ ）：假设 ${\frac{1}{x_n}}$ 是无穷小量，证 $\{x_n\}$ 是无穷大量

$$\forall G > 0, \quad \text{令 } \varepsilon = \frac{1}{G} > 0$$

$$\exists N, \quad \forall n > N, \quad \left|\frac{1}{x_n}\right| < \varepsilon = \frac{1}{G}$$

$$\Rightarrow |x_n| > G$$